欧拉定理,磨芋的数论

弱鸡的初等数论笔记

整除(小学奥数内容)

  有关性质:
传递性、同乘性、以及一些明了的属性。

       
还会有b|0对于有所b≠0成立。

       
试着说贝拉米(Bellamy)下:若(a,b)=1,a|n,b|n,则(ab)|n;

 

 

 相关姿势:求出x的具有因子。这一个应该都会呢。应该未有越来越好的复杂度了。

void getd(int x)
{
    for(int i=1;i*i<=x;++i)
        if(x%i==0)
            {
                d[++tot]=i;
                if(i*i!=x)d[++tot]=x/i;
            }
    //sort(d+1,d+tot+1);
}

  

 

 

 

余数和同余(小学奥数内容)

  定义;模意义;

  有关性质:传递性、同加减乘,分化除,以及一些鲜明的习性。

       试着说飞鹤(Beingmate)下:a%p=x,a%q=x,(p,q)=1
  =>   a%(pq)=x;

              尝试用到上边的定律。

  飞快幂,龟速乘等等;

  

  中华夏族民共和国剩余定理;

  相关难点:

    某校内OJ1272   
 便是板子对吧。

    HDU1788
      思维不要江僵化了。

 

 

 

 

 

 

 

 

关于主题材料:

  1.codevs1455路径

    一些小拍卖就足以啦。

 

 

 

 

 

 

  2.膜法数字:

    n个数中必然含有1,2,3,4七个数字。求一种排列格局使其膜7为0(明显的SPJ)。

    思索一下:音讯学最根本的三种思量是什么样?

    那说不定江会是你们前些天最大的拿走!

 

大胆猜想
不用证明
打表输出

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

素数与合数

  定理;1都不是;2是并世无两的偶质数。

  筛法:素数的线性筛法。

  分解质因子;spqt(n);

  推断:对于小数,sqrt(n);  

     对于大数,非完美算法
miller-rabin;对于(a,p)=1,有:

betway必威足彩,         费马小定理:假使p是质数,那么a^(p-1)≡1(mod
p);

           你会意识这非常不够,比如说561=3*11*17,1105=5*13*17,但无论怎么样它们都… 

         补充定理:若是p是质数,那么a*a≡1(mod
p)的解独有a=1或p-1。试用初级中学数学注明。

              起头某些思维推导了。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#include    <ctime>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
int n;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
int Qpow(int d,int z,int mod)
{
  int ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=d*d%mod)
    if(z&1)ans=ans*d%mod;
  return ans;
}
bool check(int a,int n,int t,int u)
{
  int x=Qpow(a,u,n);
  while(t--)
    {
      int y=x*x%n;
      if(y==1 && x!=1 && x!=n-1)
    return true;
      x=y;
    }
  return x!=1;
}
// check: return [n must not be a prime];
bool Mr(int n)
{
  if(n==1)return false;
  if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11)return true;
  if(n==4||n==6||n==8||n==9||n==10)return false;
  int m=n-1,j=0;
  while(!(m&1))m>>=1,++j; //n=1+m*2^j
  for(int t=1;t<=10;++t)   //judge 10 times
    {
      int a=rand()%(n-2)+1;
      if(check(a,n,j,m))return false;
    }
  return true;
}
int main()
{
  srand(time(NULL));
  n=gi(),printf("%s\n",Mr(n)?"Yes":"No");
  return 0;    
}

 

 

 

 

 

 

  因数分解;独一分解定理。

       Wilson定理。逆定理。

       费马小定理;与欧拉定理之间的关联。(记住欧拉定理就阔以了)。

       因子个数;因子和(其实那个阔以筛出来);

       求大整数因子算法:Fermat;Pollard
Rho;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

乘法逆元

  定义;

  性质(用途);证明;

  求法;单个;线性求(必须是质数);

A[i]=-(p/i)*A[p%i];

 

 

 

 

 

  那题你们应当都做过…
…来自于某年提升组;

  NOIP2012 其实并不欣赏这种驾驭就是闭重点切不精通正是玩蛋的题

  哦对三行扩充欧几里得代码。掌握什么的没要求了。( 反正作者是hh 想看的话英特网一大堆)

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;return a;}
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
int main()
{
    int gcd=exgcd(a,b,x,y);
    // 把  ax+by=gcd(a,b)  的解存储在x,y中。
}    

 

   

  乘法逆元是都要会求的,考试的地方颇多。数论题和整合数学题很多都要用到它。

 

 

 

 

 

 

 

 

GCD与LCM

  定义;

  性质;i*j=gcd(i,j)*lcm(i,j);

  GCD的求法;LCM的求法;

 

 

看上去简单,但实际上…
…下边来做一道思维题

 

 

【题目名:密码  strongbox】 【64MB】 【4s】
【题目描述】
    有一个密码箱,0—n-1中的某些整数是它的密码。
    满足:如果a和b都是它的密码,那么(a+b)%n也是它的密码(a=b是合法情况)。
    欧洲皇帝QT试了k次密码,前k-1次都失败了,最后一次成功了。
    请问:该密码箱最多可能有多少种不同的密码。
【输入格式】
    输入第一行有两个正整数,分别表示n,k。
    第二行为k个非负整数,表示每次试的密码。
    保证存在合法解。
【输出格式】
    一行一个整数,表示结果。
【输入样例1】
    42 5
    28 31 10 38 24
【输出样例1】
    14
【数据规膜】
    对于10%的数据:n≤10^4,k≤100;
    另有10%的数据:n≤10^9,k≤100;
    另有10%的数据:n≤10^9,k=1;
    对于前60%的数据:k≤1000;
    对于100%的数据:1≤k≤250,000≤n≤10^14;

 

 

这道题确实思维难度颇高。我就把解题报告讲(kuai)一讲(kuai)。
首先你得推出2个东西。
1.如果x是密码,那么gcd(x,n)也是密码。
    具体证明联系"扩展欧几里得"知识。
2.如果x,y是密码,那么gcd(x,y)也是密码。
    具体证明同上。

然后我们对密码进行分析。
记尝试密码集合为a;
1.对于密码集合A,里面所有元素的gcd记作X,有X∈A;
    证明:引理2;
2.X是A中最小的元素,且X|gcd(a[k],n);
    证明:引理2,引理1;
3.其他的元素是2X,3X,4X...⌊n/x⌋*x;
    证明:显而易见;
4.X可能有多个解,但多个解不能同时存在。所以X取解集的最小值。
    证明:引理1,答案要求;
5.X与a[j](1≤j<k)互质;
    证明:显而易见;
6.最后的答案就是⌊n/x⌋;

  

 

具体代码实现步骤是什么呢?
1.读入a后,a[k]=gcd(n,a[k]);
2.a[j]=gcd(a[j],a[k]);
    这是为了方便我们节省复杂度。
3.处理出a[k]的所有因子,制造答案可能集;
4.把所有不符合上述结论的因子删掉;
5.找到最小的答案,并输出。

 

具体代码我就不打了,你们想做也做不了,只能嘴巴一下。
为什么呢?
给你一句伤心的话:
Please contact lydsy2012@163.com!

  

 

 

 

 

 

 

 

欧拉函数及欧拉定理

  欧拉函数:定义;

       性质;积性函数;尝试求出betway必威足彩 1;

 

 

          计算betway必威足彩 2betway必威足彩 3

 

       欧拉函数的线性筛(积性);O(sqrt(n))求单个欧拉函数值。

  欧拉定理;

 

 

 

 

 

 

看题。 

 

  引子:求分母小于等于n的最简真分数的个数。

你以为此处会有代码吗
答案就是

betway必威足彩 4

不要思维江化了啊

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1.BZOJ2705 欧拉函数。所以那是答案

 

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
LL n,Ans;
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL get(LL x)
{
  LL ans=x;
  for(LL i=2;i*i<=x;++i)
    if(x%i==0)
      {
    ans=ans/i*(i-1);
    while(x%i==0)x/=i;
      }
  if(x!=1)ans=ans/x*(x-1);
  return ans;
}
int main()
{
  n=gL();
  for(LL i=1;i*i<=n;++i)
    if(n%i==0)
      {
    if(i*i==n)Ans+=i*get(i);
    else Ans+=(i*get(n/i)+(n/i)*get(i));
      }
  printf("%lld\n",Ans);
  return 0;
}

所以部分省的省选依旧有很水的题的,不像某南。

 

 

 

 

 

 

 

 

  2.
BZOJ2818
 BZOJ2190 所以这两题很水咯。

 

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define Inc i*Prime[j]
using namespace std;
const int N = 10010000;
int n,Prime[N],tot,ph[N],vis[N];
LL Q[N],Ans;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL gl()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void prepare()
{
  ph[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i)
    {
      if(!vis[i]){Prime[++tot]=i;ph[i]=i-1;}
      for(int j=1;j<=tot;++j)
    {
      if(Inc>N)break;vis[Inc]=1;
      if(i%Prime[j])ph[Inc]=ph[i]*ph[Prime[j]];
      else{ph[Inc]=ph[i]*Prime[j];break;}
    }
    }
  for(int i=2;i<=n;++i)
    Q[i]=Q[i-1]+(LL)ph[i];
}
int main()
{
  n=gi();prepare();
  for(int i=1;i<=tot;++i)
    Ans+=(2*(Q[n/Prime[i]])+1);
  printf("%lld",Ans);
  return 0;
}

 

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define Inc i*Prime[j]
using namespace std;
const int N = 40100;
int n,vis[N],Prime[N],ph[N],tot,Ans;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void pui(int x)
{
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pui(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void shai()
{
  ph[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;++i)
    {
      if(!vis[i]){Prime[++tot]=i;ph[i]=i-1;}
      for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
          if(Inc>n)break;vis[Inc]=1;
          if(i%Prime[j])ph[Inc]=ph[i]*ph[Prime[j]];
          else {ph[Inc]=ph[i]*Prime[j];break;}
        }
      Ans+=ph[i];
    }Ans-=ph[n]-1;
}     
int main()
{
  n=gi();shai();
  printf("%d",Ans*2+1);
  return 0;
}

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

  3.
BZOJ1951 考的比较多,板子合集,还带了少数讨论,是道不错的题。  

 

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const LL Mod = 999911659;
const int N = 50010;
LL n,g,M[]={0,2ll,3ll,4679ll,35617ll},Y[10];
LL J[N],A[N],Z[10];
void pL(LL x)
{
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pL(x/10),putchar(x%10+'0');
}
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void prepare(LL x)
{
  A[1]=J[0]=J[1]=1;
  for(LL i=2;i<x;++i)
    J[i]=J[i-1]*i%x,A[i]=((-(x/i)*A[x%i])%x+x)%x;
}
LL C(LL N,LL M,LL P)
{
  if(N<M)return 0ll;
  LL ans=J[N];
  ans*=A[J[M]];ans%=P;
  ans*=A[J[N-M]];ans%=P;
  return ans;
}
LL Lucas(LL N,LL M,LL P)
{
  if(!M)return 1ll;
  if(N<P&&M<P)return C(N,M,P);
  LL c=C(N%P,M%P,P);if(!c)return 0ll;
  LL L=Lucas(N/P,M/P,P);return c*L%P;
}
LL get(LL mod)
{
  LL ans=0;
  for(LL i=1;i*i<=n;++i)
    if(n%i==0)
      {
      ans+=Lucas(n,i,mod);ans%=mod;
      if(i*i!=n)ans+=Lucas(n,n/i,mod),ans%=mod;
      }
  return ans;
}
LL Qpow(LL d,LL z)
{
  LL ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=d*d%Mod)if(z&1)ans=ans*d%Mod;
  return ans;
}
int main()
{
  n=gL();g=gL()%Mod;
  if(g==0){pL(0);return 0;}
  for(int t=1;t<=4;++t)
    {
      prepare(M[t]);
      Y[t]=get(M[t]);
      Z[t]=((Mod-1)/M[t])*A[((Mod-1)/M[t])%M[t]];
      Y[0]+=Y[t]*Z[t]%(Mod-1);Y[0]%=(Mod-1);
    }
  return pL(Qpow(g,Y[0])),0;
}

 

 

 

 

 

 

  4. BZOJ1408 提示:积性,结合率,递×。

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
using namespace std;
const LL Mod = 10000;
LL F[1010][1010],Ans1,Ans2,m,k;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void pL(LL x)
{
  if(x<0)putchar('-'),pL(-x);
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pL(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void pc(){putchar('\n');}
LL gL()
{
  LL x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
LL Qpow(LL d,LL z)
{
  LL ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=d*d%Mod)if(z&1)ans=ans*d%Mod;
  return ans;
}
int main()
{
  k=gL();m=1;
  for(LL i=1;i<=k;++i)
    {
      LL p=gL(),e=gL();
      m=m*Qpow(p,e)%Mod;
      if(p==2)continue;
      LL ans1=(Ans1+(Ans2+1)*(p-1))%Mod;
      LL ans2=(Ans2+Ans1*(p-1))%Mod;
      Ans1=ans1;Ans2=ans2;
    }
  pL(Ans2);pc();pL(Ans1);pc();pL(((m-Ans1-Ans2-1)%Mod+Mod)%Mod);
  return 0;
}

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  最后来道水题放放松。李电出过的题,大家应该都切过。

   BZOJ3884

#include    <iostream>
#include    <cstdio>
#include    <cstdlib>
#include    <algorithm>
#include    <vector>
#include    <cstring>
#include    <queue>
#define LL long long int
using namespace std;
int n,p;
int gi()
{
  int x=0,res=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}
  while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*res;
}
void pL(int x)
{
  if(x<0)putchar('-'),pL(-x);
  if(x<10)putchar(x+'0');
  else pL(x/10),putchar(x%10+'0');
}
int Qpow(int d,int z,int Mod)
{
  int ans=1;
  for(;z;z>>=1,d=(LL)d*d%Mod)if(z&1)ans=(LL)ans*d%Mod;
  return ans;
}
int phi(int x)
{
  int Txd=x;
  for(int i=2;i*i<=x;++i)
    if(x%i==0)
      {
        Txd-=Txd/i;
        while(x%i==0)x/=i;
      }
  if(x>1)Txd-=Txd/x;
  return Txd;
}   
int f(int p)
{
  if(p==1)return 0;int x=phi(p);
  return Qpow(2,x+f(x),p);
}
int main()
{
  int T=gi();
  while(T--)pL(f(gi())),putchar('\n');
  return 0;
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

原根与离散对数

  先来走访这道题怎么写。

  某校内OJ 1508。求 a^x≡1 (mod
b)。

  当时自身做这题时还太naive,今后沉思很简短是吧?

  介绍一下原根和离散对数。(你们随意听听就够了,有一点超)

  原根:

    对于2个互质的数a,b,由欧拉定理知,必定期存款在x≤φ(b),使a^x≡1
(mod b);

    x记作a对模m的阶,记作δm(a);(应该是长那些吧)

1^1≡1(modn),1对模n的阶为1;
2^2≡1(mod3),2对模3的阶为2;
5^6≡1(mod7),5对模7的阶为6;
2^3≡1(mod7),2对模7的阶为3;

 

    由此,定义Ordm(a)为驱动a^x≡1
(mod m) 的小不点儿整数解x;

    如果有Ordma=φ(m),则称a是模m的多少个原根。**

    笔者了然刚刚看完的必定一脸蒙蔽…
…作者也是。

  原根的有关性质,笔者蒯了一些。

    (1).具有原根的数一定是:2,4,p^n,2(p^n),个中p为奇素数。

    (2).m的细微原根大小是O(m0.25)的。所以有个别东西你枚举就够了(惨疼的教训)。

**    (3).假如模m有原根,那么它有φ(φ(m))个原根。(制止有人出结论题)。**

**  求原根的措施:**

你们不是已经知道了吗?

 

 

离散对数

  初等代数中的对数运算,定义如若有ax=b,则称x是以a为底的对数,记作logab;

  在同余关系中也许有像样的主题材料。给定n,a,b,怎么着求解x使ax≡b
(mod n);

  这一题材也被称作离散对数难点。大家只谈谈n为素数的情状。

  先来谈谈暴力怎么办?

  由欧拉定理,我们知道0~n-1内必有一解,递推就能够,复杂度O(n);

  但这么并非很好的算法,上面给出一种O(比n小)的算法。

 

 

 

 

 

率先总括出x=0,1,2…m时ax
(mod n)的值。

设ak≡b (mod n);设
k=p*m+q(q<m);枚举p;

对此多个枚举出的p,ap*m是一定且可求的。

则足以改写成: ap\*m+qb (mod n);

   继续改: aq*apm≡b (mod n);**

*   再一步: aq\(am)pb (mod n);**

   设T=(am)p,就有:

*        T\aqb (mod n);**

   你就足以用exgcd求出T;

   那么难点就在于求q上。聪明的您能够用很两种办法化解那一个难题。。。

   这种分块用为重不等式算出m取到sqrt(n)时复杂度最非凡。。。

 

 

 

 

练习题:

  BZOJ2956 模积和;

  BZOJ1407 Savage(NOI 二〇〇一荒岛野人);

  NOIP二零一六 Day2T3 解方程,同BZOJ2742
Akai的数学作业;

  神题之圆上的整点;

  神题之数论之神CJK;

  其实上边的主题素材本身多少个都不会。

欧拉函数的定义:

在数论中,对汪林海整数N,少于或等于N
([1,N]),且与N互质的正整数(包罗1)的个数,记作φ(n)。

φ函数的值:

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n))
其中p(1),p(2)…p(n)为x

的持有质因数;x是正整数;
φ(1)=1(独一和1互质的数,且小于等于1)。注意:每一个质因数唯有一个。

例如:

φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

1 3 7 9

φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数的性质:

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p),φ(n)= φ(p)=p(1-1/p)=p-1。
所以除了p自身自个儿外,[1,p-1]的别的数都与p互质,所以φ(p)=p-1,其余由公式获得φ(n)=
φ(p)=p(1-1/p)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k), φ(n)= p^ k -p^(k-1)
=(p-1)p^(k-1)
。y因为除了p的倍数以外,其余数都与N互质。而是p的翻番的数有p,2p,3p…p^(k-1)*p,一共有p
^ ( k- 1)个,所以有p^k -p ^ (k-1) =(p-1)p^(k-1)个数与p互质。

(2)mn型欧拉函数

设m,n为正整数,若m,n互质,φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。轻便理解mn与m的翻番大概n的翻番不互质,而n的翻番有n,2n,3n…mn,共有m个,m的倍数有m,2m,3m…nm,共有n个,又mn重复计数,所以共有n+m-1个,至于k1*n和k2*m中会不会有再一次计数呢?因为n,m为质数,要使得k1n=k2m,那么k1=n,k2=m;所以与mn互质的有m*n-(n+m-1)=(m-1)*(n-1)=φ(m)φ(n)

(3)特殊属性:

若n为奇数时,φ(2n)=φ(n)。

对此任何七个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n
(恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod p
(恒等于)此公式即 费马小定理

若果(a,c)互质,且c是素数,则(a ^ b)%c=a ^ ( b % ( phi(c) ) )%c ,
phi(c) 是指c的欧拉函数

四 欧拉函数的延伸:
( 一 )
低于或等于n的数中,与n互质的数的总额为:φ(n) * n / 2 (n>1)。
( 二 )
概念:n的原根x满足条件0<x<n,而且有集聚{ (xi mod n) | 1 <= i
<=n-1 } 和聚众{ 1, …, n-1 }相等

定理:如果p有原根,则它恰有φ(φ(p))个例外的原根。

例题
a ^ b ^ c mod 1000000007

#include<stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
#define Mod 1000000007
int powMod(int a,int b,int c)
{
    int res=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=((long long)res*base)%c;
        base=((long long)base*base)%c;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{

    int a,b,c;
     while(~scanf("%d%d%d",&a,&b,&c))
        {
        int resul=powMod(b,c,Mod-1);
        printf("%d\n",powMod(a,resul,Mod));

        }
}

求欧拉函数的形式
( 一 ) 依照定义来贯彻

int euler(int n)
{
    int m=sqrt(n+0.5);
    int res=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}

( 二 )筛选法打欧拉函数表

const int MAXN=1000010;
int phi[MAXN];
void phi_table(int n)
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(phi[i]==0)//i是质数
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if(phi[j]==0) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            } 
        }
    }
}

相关文章